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공학수학 공부 #1: 라플라스 변환

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    치우

안녕하세요,

갠적으로 공학수학 공부가 필요해가,

공부하면서 필기 깜지 겸 포스팅해보려구요, 오늘은 라플라스 변환

무슨 시험을 보거나 하는 이유가 아니기 때문에 ...

하고 싶은 순서대로 목차 없이 난잡하게 올릴 예정입니다

라플라스 변환 (Laplace Transform)

라플라스 변환은 미분 방정식의 해를 구하는 데 사용되는 수학적 기법입니다. 이 기법은 시간 영역에서 정의된 함수를 복소수 영역으로 변환하여 복잡한 미분 방정식을 대수적으로 해결할 수 있게 합니다.

라플라스 변환의 정의

라플라스 변환은 주어진 함수 f(t)f(t)에 대해 다음과 같이 정의됩니다:

L{f(t)}=F(s)=∫0∞e−stf(t) dt\mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt

여기서:

  • f(t)f(t)는 시간 영역에서의 함수입니다.
  • ss는 복소수 변수로, s=σ+jωs = \sigma + j\omega 형식을 가질 수 있습니다.
  • F(s)F(s)는 주어진 함수의 라플라스 변환 결과로 얻어지는 복소수 영역의 함수입니다.

라플라스 변환의 주요 성질

라플라스 변환은 여러 유용한 성질을 가집니다. 주요 성질은 다음과 같습니다:

1. 선형성 (Linearity)

L{af(t)+bg(t)}=aL{f(t)}+bL{g(t)}\mathcal{L} \{ a f(t) + b g(t) \} = a \mathcal{L} \{ f(t) \} + b \mathcal{L} \{ g(t) \}

(상수 배수 및 함수 덧셈에 대해 선형성을 유지)

2. 시간 이동성 (Time Shifting)

L{f(t−a)}=e−asL{f(t)}\mathcal{L} \{ f(t - a) \} = e^{-as} \mathcal{L} \{ f(t) \}

(함수의 시간 이동에 대한 변환)

3. 주파수 이동성 (Frequency Shifting)

L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L} \{ e^{at} f(t) \} = F(s - a)

(주파수 이동에 대한 변환)

4. 미분 및 적분의 변환 (Differentiation and Integration)

  • 미분:
L{f′(t)}=sF(s)−f(0)\mathcal{L} \{ f'(t) \} = sF(s) - f(0)

(미분에 대한 변환)

  • 적분:
L{∫0tf(τ)dτ}=F(s)s\mathcal{L} \{ \int_0^t f(\tau) d\tau \} = \frac{F(s)}{s}

(적분에 대한 변환)

라플라스 변환을 이용한 미분 방정식 풀이

미분 방정식에서 라플라스 변환을 활용하면 미분 연산이 대수적 연산으로 변환되어 풀이가 용이해집니다. 예를 들어, 다음과 같은 1차 미분 방정식을 고려해봅시다:

dydt+ay=0,y(0)=y0\frac{dy}{dt} + ay = 0, \quad y(0) = y_0

이 방정식에 라플라스 변환을 적용하면:

L{dydt}+aL{y(t)}=0\mathcal{L} \left\{ \frac{dy}{dt} \right\} + a \mathcal{L} \{ y(t) \} = 0

미분에 대한 라플라스 변환을 적용하여:

sY(s)−y(0)+aY(s)=0sY(s) - y(0) + aY(s) = 0

이를 정리하면:

Y(s)=y0s+aY(s) = \frac{y_0}{s + a}

이제 역 라플라스 변환을 통해 y(t)y(t)를 구할 수 있습니다:

y(t)=y0e−aty(t) = y_0 e^{-at}

주요 라플라스 변환 쌍 (Transform Pairs)

라플라스 변환에서 자주 사용되는 함수들의 변환 쌍은 다음과 같습니다:

  • f(t)=1f(t) = 1 일 때, F(s)=1sF(s) = \frac{1}{s}
  • f(t)=tnf(t) = t^n 일 때, F(s)=n!sn+1F(s) = \frac{n!}{s^{n+1}}
  • f(t)=eatf(t) = e^{at} 일 때, F(s)=1s−aF(s) = \frac{1}{s - a}
  • f(t)=sin⁡(at)f(t) = \sin(at) 일 때, F(s)=as2+a2F(s) = \frac{a}{s^2 + a^2}
  • f(t)=cos⁡(at)f(t) = \cos(at) 일 때, F(s)=ss2+a2F(s) = \frac{s}{s^2 + a^2}
  • f(t)=eatsin⁡(bt)f(t) = e^{at} \sin(bt) 일 때, F(s)=b(s−a)2+b2F(s) = \frac{b}{(s - a)^2 + b^2}
  • f(t)=eatcos⁡(bt)f(t) = e^{at} \cos(bt) 일 때, F(s)=s−a(s−a)2+b2F(s) = \frac{s - a}{(s - a)^2 + b^2}

라플라스 역변환 (Inverse Laplace Transform)

라플라스 변환을 통해 얻은 결과를 다시 시간 영역으로 변환하는 것이 역 라플라스 변환입니다. 일반적으로 역변환은 복소평면에서 적분을 통해 구할 수 있지만, 실제로는 주로 변환 쌍을 이용하여 풀이합니다.

활용 예 (Applications)

라플라스 변환은 전기 회로 해석, 제어 시스템, 신호 처리 등 다양한 분야에서 사용됩니다. 예를 들어, RLC 회로의 미분 방정식을 풀 때 라플라스 변환을 사용하여 전압, 전류 등을 쉽게 계산할 수 있습니다.