공학수학 공부 #2 푸리에 급수

다시 돌아온 수학 공부 ? 필기 ? 뭐 그런 시간,

오늘은 푸리에 급수 필기 따라쓰기를 할거에요

저번 글에도 얘기했지만,

필기 깜지 겸 포스팅이므로, 전문성 개나 주고 오류가 있을 수 있다는 점,

시작!

정의

주기 함수 $f(x)$가 주어졌을 때, 이 함수는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있습니다:

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$

여기서:

• $a_0$: 상수항으로, 주기 함수의 평균 값에 해당합니다.
• $a_n, b_n$: 푸리에 계수로, 각각 코사인 및 사인 성분의 크기를 나타냅니다.
• $n$: 고조파(harmonic) 순서로, 주파수의 배수를 나타냅니다.

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푸리에 계수의 계산

푸리에 계수 $a_0$, $a_n$, $b_n$는 다음 식을 통해 계산됩니다:

$$a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T f(x) \, dx$$ $$a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos(nx) \, dx$$ $$b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin(nx) \, dx$$

여기서 $T$는 함수의 주기입니다.

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주요 특징

1. 직교성
   사인 함수와 코사인 함수는 직교성을 가지므로, 각 고조파 성분이 서로 독립적입니다. 이를 통해 푸리에 급수를 통해 함수를 분해하고 분석할 수 있습니다.

2. 주기성
   푸리에 급수는 본질적으로 주기 함수만 다룰 수 있습니다. 비주기 함수의 경우, 주기적으로 확장하여 분석합니다.

3. 변환 및 복원
   푸리에 급수는 함수를 주파수 영역으로 변환하는 데 사용되며, 주파수 정보로부터 원래 함수를 복원할 수 있습니다.

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푸리에 급수의 응용

1. 신호 처리
   음성 신호나 음악을 주파수 성분으로 분해하여 분석하거나, 원치 않는 노이즈를 제거하는 데 활용됩니다.

2. 전자 공학
   전압 및 전류 신호의 주파수 성분을 분석하거나, 필터 설계에 사용됩니다.

3. 영상 처리
   이미지 데이터를 주파수 영역으로 변환하여 압축하거나, 노이즈를 제거하는 데 사용됩니다.

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예제

사각파 $f(x)$를 푸리에 급수로 전개하면 다음과 같은 형태를 가집니다:

$$f(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3,5,\ldots}^\infty \frac{1}{n} \sin(nx)$$

여기서 $n$은 홀수입니다. 이는 사각파가 홀수 고조파 성분으로만 구성되어 있음을 의미합니다.

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