공학수학 공부 #3 푸리에 변환

안녕하세요,

돌아온 공학수학 공부 따라쓰는 필기 시간입니다.

오늘은 푸리에 변환 !

개요

푸리에 변환은 신호 처리 및 분석에서 중요한 역할을 하는 수학적 기법으로, 시간 영역에서 주파수 영역으로 신호를 변환하는 방법입니다. 이 변환은 주로 신호의 주파수 성분을 분석하거나 처리할 때 사용됩니다. 푸리에 변환의 기본적인 아이디어는 신호를 주기적인 정현파로 분해하는 것입니다.

1. 정의

푸리에 변환은 수학적으로 다음과 같이 정의됩니다:

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} dt

여기서:

$X(f)$ 는 주파수 $f$ 에 대한 신호의 푸리에 변환입니다.
$x(t)$ 는 시간 영역에서의 신호입니다.
$e^{-j 2 \pi f t}$ 는 주파수 성분을 나타내는 복소 지수 함수입니다.
$f$ 는 주파수 변수입니다.

2. 푸리에 역변환 RFT

푸리에 변환의 역은 주파수 영역의 정보를 다시 시간 영역으로 복원하는 과정입니다. 역푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다:

x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi f t} df

푸리에 역변환을 사용하면, 주파수 영역에서 얻은 정보를 바탕으로 원래의 신호를 복원할 수 있습니다.

3. 푸리에 변환의 성질

푸리에 변환은 여러 가지 중요한 성질들을 가집니다. 몇 가지 주요 성질은 다음과 같습니다:

선형성: 푸리에 변환은 선형 연산이므로, 두 신호의 합의 푸리에 변환은 각 신호의 푸리에 변환을 더한 것과 같습니다.
시간 이동: 신호가 시간에서 이동하면 푸리에 변환에서 그에 상응하는 위상 변화가 발생합니다.
주파수 이동: 신호의 주파수 성분을 이동시키면, 푸리에 변환에서 시간 영역에서의 지연이 발생합니다.
대칭성: 푸리에 변환은 시간과 주파수의 대칭성을 가집니다. 즉, 시간 영역에서의 변환과 주파수 영역에서의 변환이 서로 대칭적입니다.

4. 이산 푸리에 변환 (DFT)

이산 푸리에 변환(DFT)은 주기적인 신호를 분석할 때 사용되는 푸리에 변환의 이산적인 형태입니다. DFT는 연속적인 시간 신호 대신 유한한 수의 샘플을 처리할 수 있도록 설계되었습니다. DFT는 주로 디지털 신호 처리에서 사용됩니다.

이산 푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다:

X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j 2 \pi \frac{k n}{N}}

여기서:

$X_k$ 는 주파수 성분 $k$ 에 대한 이산 푸리에 변환입니다.
$x_n$ 은 시간 영역에서의 샘플값입니다.
$N$ 은 샘플의 개수입니다.

DFT는 효율적으로 계산할 수 있도록 만든 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘으로 최적화할 수 있습니다.